Física Computacional - FSC-5705

só um divisor

MatPlotLib

Ao ler este documento provavelmente você já escutou falar de gnuplot e de xmgrace e deve se perguntar, outro???, sim, é outro de entre muitos. decidi escrever sobre esta biblioteca porque a diferencia do xmgrace (que é o que eu uso) dá para instalar no windows de uma forma relativamente fácil; comparado ao gnuplot ele é menos árido no que diz respeita a colocar formulas dentro do gráfico; finalmente ele uma faz parte do python, uma plataforma que está em franco crescimento.

Se você é usuario windows instalei o pythonxy esse pacote já traz tudo o que você precisa em python como um estudante de Física, se você se sente bem pagando pois acha que terá a segurança de alguma empresa, de uma olhada em enthought. Se você é usuário mac, o python está no mac e agorá é só instalar o matplotlib. Finalmente se você é usuário Linux a vida fica mais o menos fácil, usuários de ubuntu (e derivados):

[usuario@python: ]# sudo apt-get install python-matplotlib
Usuários Debian debem entrar como root e instalar:
[root@python: ]# apt-get install python-matplotlib
Usuário de derivados do Red Hat (fedora, centos, scientific Linux, etc...)
[root@python: ]# yum install python-matplotlib
Outros Linux-like (BSD) procure no google por matplotlib + sua distribuição.

Gráficos Simples

Trabalhar com o matplotlib lembra o gnuplot já que se cimentam numa linguagem de script, mas a diferença é que o matplotlib o faz sobre o python, onde se comporta como um outro módulo mais. Assim a leitura e tratamento de dados (ajustes polinomiais ou não lineares) é feito com o Python e no fim mandar a imprimir com o matplotlib.

Exemplo simples: lendo e plotando os dados

Nosso primeiro exemplo consiste em plotar um conjunto de dados correspondente a uma parábola, baixe esse dados clicando aqui ou crie sua própria tabela. Os script em python podem ser feitos como o kate (ou o bloco de notas do windows). O script abaixo deve estar na mesma pasta onde os dados estão colocados

          #!/usr/bin/env python

          #Modulos python
          import numpy as np
          import scipy.interpolate
          import matplotlib as mpl
          import matplotlib.pyplot as plt

          #*******************************************

          #le os dados e armazena em 2 vetores: x, y.
          x, y = np.loadtxt('dados01.dat', unpack=True)

          #plotando os dados
          plt.plot(x, y, '*')
          plt.show()
        
Para executar no Linux você digita python nome_do_script.py, note que tradicionalmente se coloca .py como extensão dos scripts python.
[usuario@python: ]# python script01.py
primeiro gráfico
Figura 01: gráfico simples de um conjunto de dados com matplotlib.
O resultado desse rodar script é o gráfico é mostrado na figura 01.

Tipo de simbolo

Observe que na linha 15 do script se manda a plotar os dados de $x$ contra $y$ utilizando $*$ para representar os pontos, além de $*$ existe outras opções:

No script No gráfico
. ponto
o circulo
, pixel
v Triangulo para baixo
^ Triangulo para acima
< Triangulo para esquerda
1 Trípode para baixo
2 Trípode para cima
3 Trípode para esquerda
4 Trípode para direita
s quadrado
p pentágono
* estrela
h hexágono
H hexágono rotado
+ mais
x cruz (x)
D diamante
| linha vertical
- linha horizontal

Tipo de linhas

Em lugar de utilizar pontos, podemos unir os dados utilizando linhas

          #!/usr/bin/env python

          #Modulos python
          import numpy as np
          import scipy.interpolate
          import matplotlib as mpl
          import matplotlib.pyplot as plt

          #*******************************************

          #le os dados e armazena em 2 vetores: x, y.
          x, y = np.loadtxt('dados01.dat', unpack=True)

          #plotando os dados
          plt.plot(x, y, '-')
          plt.show()
        
resulta no seguinte gráfico
II gráfico
Figura 02: gráfico simples de um conjunto de dados com matplotlib.
Os tipos de linhas que o matplotlib suporta são
No script No gráfico
- linha sólida
-- linha tracejada
: linha pontilhada
-. linha traço-ponto

Cor

Para mudar a cor das linhas (símbolos) colocamos entre aspas a cor que desejamos

          #!/usr/bin/env python

          #Modulos python
          import numpy as np
          import scipy.interpolate
          import matplotlib as mpl
          import matplotlib.pyplot as plt

          #*******************************************

          #le os dados e armazena em 2 vetores: x, y.
          x, y = np.loadtxt('dados01.dat', unpack=True)

          #plotando os dados
          plt.plot(x, y, ':', color='m', marker="o")
          plt.show()
        
III gráfico
Figura 03: gráfico simples mudando a cor dos pontos.
As cores disponíveis são:
No script No gráfico
b ou blue azul
c ou cian ciano
g ou green verde
k ou black preto
m ou magenta magenta
r ou red vermelho
w ou white branco
y ou yellow amarelo
Além dessas cores podemos utilizar cores ao estilo das usada em HTML: #d3ddff.

Atributos

No exemplo anterior vimos que a cor da linha foi passada como um atributo, de fato, todos os parâmetros que apresentamos até aqui são atributos do gráficos que podem ser explicitamente nomeados. O atributos que o matplotlib aceita estão dados na tabela a seguir:

No script No gráfico
color ou c cor
linestyle tipo de linha
linewidth largura da linha
marker tipo de símbolo
markeredgecolor cor de borda do simbolo
markeredgewidth largura da borda do símbolo
markerfacecolor cor de recheio do símbolo
markersize tamanho de símbolo
Vamos agora a plotar simultaneamente dois conjuntos de dados, utilizaremos a informação da tabela previa para poder identificar cada um das curvas. Para você testar terá que baixar o arquivo dados02.dat de aqui.
          #!/usr/bin/env python

          #Modulos python
          import numpy as np
          import scipy.interpolate
          import matplotlib as mpl
          import matplotlib.pyplot as plt

          #*******************************************

          #le os dados e armazena em 2 vetores: x, y.
          x, y = np.loadtxt('dados01.dat', unpack=True)

          #le os II dados e armazena em 2 vetores: x, y.
          x1, y1 = np.loadtxt('dados02.dat', unpack=True)

          #plotando os dados
          plt.plot(x, y, linestyle='-', color='black', marker="o", markersize=20, markerfacecolor="w")
          
          plt.plot(x1, y1, linestyle='-.', color='red', marker="o", markersize=10, markeredgecolor="blue", markerfacecolor="w")
          
          plt.show()
        
IV gráfico
Figura 04: Dois gráfico simples com definições de atributos.

Títulos, eixos

Agora abordaremos o texto que se coloca no gráfico. Na figura script embaixo se mostra como se coloca a legenda nos eixo, o título, e a legenda do próprio gráfico

          #!/usr/bin/env python
          # -*- coding: utf-8 -*-

          #Modulos python
          import numpy as np
          import scipy.interpolate
          import matplotlib as mpl
          import matplotlib.pyplot as plt

          #*******************************************

          #le os dados e armazena em 2 vetores: x, y.
          x, y = np.loadtxt('dados01.dat', unpack=True)

          #le os II dados e armazena em 2 vetores: x, y.
          x1, y1 = np.loadtxt('dados02.dat', unpack=True)

          #plotando os dados
          plt.plot(x, y, linestyle='-', color='black', marker="*", label=u"posição")
          
          plt.plot(x1, y1, linestyle='-.', color='red', marker="o", label="velocidade")
          
          plt.legend(loc='upper left')
          
          plt.grid(True)
          
          plt.xlabel('t (s)')
          
          plt.ylabel(r'$Y(m)$   e   $V_y(\frac{m}{s})$')
          
          plt.title("Exemplo")
          
          plt.show()
        
V gráfico
Figura 04: Legendas no matplotlib.
Note que a legenda associada à curva é colocada via o atributo label. Para que ele apareça no gráfico devemos colocar a linha 22 que nesse caso indica que a caixa com legenda deverá aparecer no canto superior esquerdo, além dessa posição temos:
No script No gráfico
0 ou best melhor posição
1 ou upper right acima e à direita
2 ou upper left acima e à esquerda
3 ou lower left abaixo e à esquerda
4 ou lower right abaixo e à direita
5 ou right à direita
6 ou center left centrado à esquerda
7 ou center right centrado à direita
8 ou lower center centrado embaixo
9 ou upper center centrado acima
10 ou center centralizado
Note que a tabela diz que podemos utilizar números ou letras (entre aspas) para indicar a posição (loc=10 é igual a loc='center'). De fato além de números podemos utilizar uma tupla de dados (coordenadas) onde por exemplo (0,0) é o canto inferior esquerdo e (0.5,0.5) o centro, assim um exemplo de posicionamento seria loc=(0.05,0.8) quase equivalente à loc='upper left'. Quando usamos português colocamos um u a frente da palavra como feito no label da linha 18 (label=u'posição'), para que isso funcione direito devemos salvar nosso script em UTF-8 e colocar no cabeçalho # -*- coding: utf-8 -*-.

Para a legenda dos eixos x e y se utiliza plt.xlabel('') e plt.ylabel(''), respetivamente. Se você quer colocar uma equação ou letra grega, por exemplo no eixo x, devemos escrever entre $$ a equação (latex) é iniciar com r a legenda, como feito na linha 29 (para maiores informações de uma olhada em formulas com matplotlib)

Erro nos dados

Se temos dados resultantes de um experimento a eles está associado um erro resultante do processo de medição. Nesses casos não utilizamos a função plt.plot para imprimir e sim plt.errorbar, vejamos um exemplo, baixe os dados necessários para esse executar esse exemplo aqui

          #!/usr/bin/env python
          # -*- coding: utf-8 -*-

          #Modulos python
          import numpy as np
          import scipy.interpolate
          import matplotlib as mpl
          import matplotlib.pyplot as plt

          #*******************************************

          #le os dados e armazena em 2 vetores: x, y.
          x, y, err = np.loadtxt('dados04.dat', unpack=True)

          #plotando os dados
          plt.errorbar(x, y, yerr=err, linestyle='-', color='black', marker="*", label=u"experimento")

          plt.legend(loc='upper left')

          plt.grid(True)

          plt.xlabel(u'Indivíduos')

          plt.ylabel(u'frequência')

          plt.title("Grafico com erro em y")

          plt.show()
        
V gráfico
Figura 05b: Erro nos dados.
É possível associar um erro ao pontos nos eixo x (simultaneamente com y, dado um cruz no ponto), para isso utilizamos o parâmetro xerr= vetor com dados do erro.

Ajustes polinomial simples

No caso de um ajuste polinomial utilizamos a função polyfit:

          #!/usr/bin/env python
          # -*- coding: utf-8 -*-

          #Modulos python
          import numpy as np
          import scipy.interpolate
          import matplotlib as mpl
          import matplotlib.pyplot as plt

          #*******************************************

          #le os dados e armazena em 2 vetores: x, y.
          x, y = np.loadtxt('dados01.dat', unpack=True)

          #calcula os coeficientes do polinomio
          print 'coeficientes do polinomio'
          coef = np.polyfit(x, y, 2)
          print coef

          #cria o polinomio
          print '\nPolinomio ajustado'
          pol = np.poly1d(coef)
          print pol

          #calcula os novos y com o juste
          yajus = pol(x)

          #cria o grafico
          plt.plot(x, y, 'o')
          plt.plot(x, yajus, '--')
          plt.legend(['dados', 'ajuste'], loc=2)
          plt.grid(True)
          plt.xlabel('t')
          plt.ylabel('V')
          plt.title("Exemplo de ajuste")
          plt.show()
        
[usuario@python: ]# python script06.py
coeficientes do polinomio
[ 1.00000000e+00 -3.92352444e-15 1.33070584e-14]

Polinomio ajustado
   2
1 x - 3.924e-15 x + 1.331e-14
VI gráfico
Figura 06: Ajuste polinomial.
A função polyfit devolve os coeficientes do ajuste polinomial, se esse coeficientes são passados à função poly1d ela vai montar a equação correspondente, como se mostra nas linhas 22 e 23. Com o polinômio criado na linha 22 podemos calcular os novos valores (yajus) como se mostra na linha 26.

Ajuste não linear

Para realizar o ajuste no linear de dados utilizamos a o conjunto de dados aqui armazenados, a esses dados aplicamos o próximo script

          #!/usr/bin/env python
          # -*- coding: utf-8 -*-

          #Modulos python
          import numpy as np
          import scipy.optimize
          import matplotlib as mpl
          import matplotlib.pyplot as plt

          #*******************************************

          #Função que desejamos ajustar
          def gausiana(x, yo, xo, s):
            y = yo * np.exp(-(x-xo)**2 / (2.0*s*s))
            return y

          #*******************************************

          #le os dados e armazena em 2 vetores: x, y.
          x, y = np.loadtxt('dados03.dat', unpack=True)

          chuteInicial = np.array([7.0, 15.0, 3.0])

          resAjuste, mcov = scipy.optimize.curve_fit(gausiana, x, y, p0=chuteInicial)

          print "Resultado do ajuste: ", resAjuste
          print u'\nMatriz de covariança (diagonal eh variança dos resultados):'
          print mcov

          #gera os y ajustados
          yajus = gausiana(x, resAjuste[0], resAjuste[1], resAjuste[2])


          #cria o grafico
          plt.plot(x, y, 'o')
          plt.plot(x, yajus, '-')
          plt.legend(['dados', 'ajuste'], loc=2)
          plt.grid(True)
          plt.xlabel('x')
          plt.ylabel('y')
          plt.title(u'Exemplo de ajuste não linear')
          plt.show()
        
[usuario@python: ]# python script07.py
Resultado do ajuste: [ 9.64515448 20.03009188 5.16476803]

Matriz de covariança (diagonal eh variança dos resultados):
[[ 1.10182138e-02 4.87617282e-05 -3.92403713e-03]
 [ 4.87617282e-05 4.21683166e-03 -1.99872232e-06]
 [ -3.92403713e-03 -1.99872232e-06 4.20210050e-03]]
VII gráfico
Figura 07: Ajuste não linear.
Para o ajuste não linear utilizamos a função scipy.optimize.curve_fit, essa função espera o nome de outra função a qual é o modelo a ser ajustado ao dados, no programa chamada de gausiana e definida entre as linhas 13 e 15; seguidamente são passado a scipy.optimize.curve_fit os vetores de dados x e y; finalmente damos para ela um chute inicial dos parâmetros que definem a função a ser ajustada. Como resultado do ajuste ela devolve um vetor e uma matriz, o vetor armazena parâmetros resultantes do ajuste na ordem que foram definidos na função, a matriz devolve a matriz de covariança.

Ajuste não linear com erro nos dados

Similar ao caso anterior, a diferença que agora a incerteza será colocada como dado da função scipy.optimize.curve_fit

          #!/usr/bin/env python
          # -*- coding: utf-8 -*-

          #Modulos python
          import numpy as np
          import scipy.optimize
          import matplotlib as mpl
          import matplotlib.pyplot as plt

          #*******************************************

          #Função que desejamos ajustar
          def gausiana(x, yo, xo, s):
            y = yo * np.exp(-(x-xo)**2 / (2.0*s*s))
            return y

          #*******************************************

          #le os dados e armazena em 2 vetores: x, y.
          x, y, yerr= np.loadtxt('dados04.dat', unpack=True)

          chuteInicial = np.array([7.0, 15.0, 3.0])

          resAjuste, mcov = scipy.optimize.curve_fit(gausiana, x, y, p0=chuteInicial, sigma=yerr)

          print "Resultado do ajuste: ", resAjuste
          print u'\nMatriz de covariança (diagonal eh variança dos resultados):'
          print mcov

          #gera os y ajustados
          xajus = np.linspace(0.0, 40.0, 100) #gera 100 pontos desde 0 até 40
          yajus = gausiana(xajus, resAjuste[0], resAjuste[1], resAjuste[2])


          #cria o grafico
          plt.errorbar(x, y, yerr, marker='o', linestyle=' ')
          plt.plot(xajus, yajus, '-')
          plt.legend(['dados', 'ajuste'], loc=2)
          plt.grid(True)
          plt.xlabel('x')
          plt.ylabel('y')
          plt.title(u'Exemplo de ajuste não linear')
          plt.show()
        
[usuario@python: ]# python script07.py
Resultado do ajuste: [ 9.94095175 19.92305929 4.99153264]

Matriz de covariança (diagonal eh variança dos resultados):
[[ 0.00770007 0.00166504 -0.00244807]
 [ 0.00166504 0.00750754 -0.00107857]
 [-0.00244807 -0.00107857 0.0050674 ]]
IX gráfico
Figura 07: Ajuste não linear com erro.

Ajuste não linear de dados experimentais

Agora ajustaremos um conjunto de dados experimentais a uma função não linear. O dados resultaram de um experimento de difração por fenda simples onde a traves de algum tipo de ccd foi capturada a intensidade da figura de difração. Para o ajuste os dados foi necessário normalizar e deslocar os dados para centralizar na origem. Os dados foram ajustados utilizando o modelo de difração de Fraunhofer para fendas simples:

Figura de difração
Figura 08: Analise da figura de difração.
\[ I = I_0\frac{\sin ^2\alpha}{\alpha ^2} \nonumber \] onde \[ \alpha = \frac{\phi}{2} = \pi \frac{a\sin \theta}{\lambda} \nonumber \] Utilizando o seguinte script podemos ver os dados experimentais
          #!/usr/bin/env python
          # -*- coding: utf-8 -*-

          #Modulos python
          import numpy as np
          import scipy.optimize
          import matplotlib as mpl
          import matplotlib.pyplot as plt

          #*******************************************

          #le os dados e armazena em 2 vetores: x, y.
          x, y = np.loadtxt('dadosDifracao.dat', unpack=True)

          #plotando os dados
          plt.plot(x, y, '.')
        
Resulta na figura da esquerda, onde depois de se fazer um ampliação na região de interesse, resulta na figura da direita.
Figura de difração - dados
Figura 09: Dados e zoom ao dados.
Para realizar o ajuste vamos utilizar o seguinte script
          #!/usr/bin/env python
          # -*- coding: utf-8 -*-

          #Modulos python
          import numpy as np
          import scipy.optimize
          import matplotlib as mpl
          import matplotlib.pyplot as plt
          
          #*******************************************

          #Função que desejamos ajustar
          def difracao(x, a, yo):
            alphaD2 = np.pi * a * np.sin(x)/632.0
            y = yo * (np.sin(alphaD2)/alphaD2)**2
            return y

          #*******************************************

          #define duas matrizes vazias
          x = []
          y = []

          #le os dados e armazena em 2 vetores temporarios: xtemp, ytemp.
          xtemp, ytemp = np.loadtxt('dadosDifracao.dat', unpack=True)

          for i in range(len(xtemp)): #percorre todos os elementos em xr
              if (np.abs(xtemp[i]) <= 1.30):  #limita os dados em x entre -1.3 e 1.3
                  #coloca os dados recortados nos novos vetores x e y
                  x.append(xtemp[i] + 0.01)  #desloca o grafico ligeiramente para a direita
                                          #isso evita um dado exatamente em zero pois da erro
                  y.append(ytemp[i])

          chuteInicial = np.array([1.0, 132.0])

          resAjuste, mcov = scipy.optimize.curve_fit(difracao, x, y, p0=chuteInicial, maxfev = 1000)

          print "Resultado do ajuste: ", resAjuste
          print u'\nMatriz de covariança (diagonal eh variança dos resultados):'
          print mcov

          #gera os y ajustados
          yajus = difracao(x, resAjuste[0], resAjuste[1])

          #cria o grafico
          plt.plot(x, y, 'o')
          plt.plot(x, yajus, '-')

          plt.legend([r'$dados$', r'$I_0\frac{\sin \left( \pi\, \frac{a\,\sin \theta}{\lambda} \right)}{\left( \pi\, \frac{a\,\sin \theta}{\lambda} \right)}$'], prop={'size':20})

          plt.xlabel(r'$\pi\, \frac{a\,\sin \theta}{\lambda} (radiano)$', fontsize=20)
          plt.ylabel(r'$I$', fontsize=20)

          plt.title(u'Intensidade da luz que passa por uma fenda')
          plt.show()
        
[usuario@python: ]# python script08.py
Resultado do ajuste: [ 1.41696333e+03 1.00950036e+00]

Matriz de covariança (diagonal eh variança dos resultados):
[[ 6.78262351e+01 2.18691091e-02]
 [ 2.18691091e-02 3.36704044e-05]]
X gráfico
Figura 10: Ajuste aos dados experimentais.